若P1，P2，…，Pn的所有组合数为2^n，求P1=P2，的所有组合数？求P1=P2=P3的所有组合数？【图片】

拆分数列通项公式是多少 1/1/2/3/5/7/11/15/22/30/42/56/77....

世界是由死寂空间和物质组成， 宇宙是由活动空间和物质组成， 物质由质态物质(低能态)，能量态物质(中能态)，时光态物质(高能态)组成， 时光态物质用以拓展死寂空间，使其变成活动空间，及低态物质相互作用。 能量态物质用以低态物质相互作用。 质态物质是主动或被动地物质之间相互作用。 三态物质的关系： 时光态物质通过辐射释放能量变成能量态物质；能星态物质通过辐射释放能量变成质态物质。 质态物质通过自身质量塌缩释放时光及能

明月复出照西楼，恰在柳梢头，举杯摘月淹清酒，人肥马消瘦！ 不问长夜几时归，翻身上马追落月，惊得湖水磷磷，鱼一跃，荷花醉！

例1，x^2+y^2=123457z^2，解：x^2+1=123457y，→x01：(2+2+2+2+3+643)^(3*643)|123457=113370，113370^16/123457=115719。 x02=3^(643*8)|123457=123457-115719=7738， →y01=(115719^2+1)/123457=108466，y02=(7738^2+1)/123457=485，y01>y02， →108466=279^2+175^2=329^2+15^2， (108466=2*283*193，→16^2+5^2=281，12^2+7^2=193，→227^2+52^2=157^2+172^2=283*193=54233，a1=227+52=279，a2=157+172=329) 485=14^2+17^2=22^2+1， →279x1+175y1=115719，x1^2+y1^2=123457，解得：x1=57448/193或83641/281，y1=36033/193或52464/281。 ①57448^2+36033^2=193^2*123457，②83641^2+52464^2=281^2*1

例，判断125655221是否为质数？ 解：125655221*125655220=15789234438903620。 只要求出2^(125655221*125655220)|125655221^2=1即可判定125655221为质数P 有2^100|125655221^2=1179785214848067；1179785214848067^100|125655221^2=13499827557596031； 13499827557596031^100|125655221^2=11149060487417924； 11149060487417924^100|125655221^2=11159257780981749； 11159257780981749^100|125655221^2=2336768293760529； 2336768293760529^100|125655221^2=12228382558790686； 12228382558790686^100|125655221^2=6626494344452428 →6626494344452428^15*12228382558790686^78|125655221^2=1188397997325

求∑(1/n)与∑(1/Pm)的关系？ 解： ∑(1/n)=1+2∑(1/Pm) 证明：∑(1/(P1*2^n)=1/2+1/4+...+1/2^n=2/2=1， ∑(1/(P2*2^n)=1/3+1/6+...+1/(3*2^n)=2/3， ∑(1/(P3*2^n)=1/5+1/10+...+1/(5*2^n)=2/5，…， ∑(1/(Pm*2^n)=1/Pm+1/(2Pm)+…+1/(Pm*2^n)=2/P， →∑∑(1/(Pm*2^n))= 1+2/3+2/5+…+2/Pn=2(1/2+1/3+1/5+…+1/Pn)=2∑(1/Pm)， ∑(1/n)=1+∑∑(1/(Pm*2^n))=1+2∑(1/Pm)。

在质数判定方面，费尔马小定理做了很大贡献，但由于它有漏洞，出现迈克尔克数，也是很头疼的事，今天我來了， 用尧驰小定理来弥补这个漏洞，所有质数在公式面前，原形毕露 尧驰小定理： 如果a=P，→(10^(P-1)-1)|(9P)=0，(a≥7，且a=91除外) 例1，a=7=P，10^(P-1)-1)|(9P)=10^(7-1)-1)/(9*7)=15873； 例2，a=37=P，10^(P-1)-1)|(9P)=10^(37-1)-1)|(9*37)=0。 例3，a=419=P，10^(P-1)-1)|(9P)=10^(419-1)-1)|(9*419)=0 例4，a=1009=P，10^(P-1)-1)|(9P)=10^(1009-1)-1)|(9*1009)=0。

求2^3^4^…^∞|123457的余数， 解：3^4^…^∞|123456，4^5^…^∞|3856，5^6^…^∞|120，6^7^…^∞|14，7^8^…^8|6，8^9^…^∞|2，9^10^…^∞|1。→9^n|1=0，8^0|2=1，7^1|6=1，6^1|14=6，5^6|120=5，4^5|3856=1024，3^1024|123456=60801，→2^60801|123457=25251^60*2^801|123457=89749

求x^m-1=ky的解： 例1：k=9311=2*5*7^2*19+1， ①m=5：x51=931^931|9311=7417有(7417^5+1)|9311=0； 连推有：x52=7417^2|9311=2501，→x53=2501^2|9311=7320，→x54=7320^2|9311=6906，→x55=6906^2|9311=1894，→x56=x53=1894^2|9311=2501。共有5组基本解 ②m=7：x71`=(5*7*19)^(5*19)|9311=2710。余略 ③m=19： x191`=245^245|9311=6149；余略。

就是求x^2+y^2-xy=(x+y)^(1/2)m的通解，其中(x+y)^2=z^3

P=m(C-v)，P为动量，m为物体质量，C为光速，v为物体运动速度，

若k=2^mP为质数P，且存在2^(P*2^(m-m1))|k=-1，(m1<m)；或x22=P^(P*2^(m-m2))|k=-1，(m2<m)

(ax)^2+1=ky的基本解及通解解法 (123456789x)^2+1=41y， 解：123456789|41=8，→x0=20!/8/41=37， 即：((123456789*37)^2+1)|41=0 xn=±(41t±37)

若3x+1经过n次循环后不为1，则为a，那么a经过n次循环后必为a，符合此条件的只有1，因为(3*1+1)/2/2=1。

例3，x^3-13/16x-3/16＝0， 解:它属于简式x^3+px+q＝0形式。由于简式判别式为q^2+4p^3/27＝-1225/27648<0，所以它有三实根， 根据尧驰公式1-2得: x1=((-q+(q^2+4p^3/27)^0.5)/2)^(1/3)+((-q-(q^2+4p^3/27)^0.5)/2)^(1/3)=1 x2=Z[2(((q+(q^2+4p^3/27)^0.5)/2)^(1/3)-((-q-(q^2+4p^3/27)^0.5)/2)^(1/3))] =-0.25 x3=-((q+(q^2+4p^3/27)^0.5)/2)^(1/3)-((q-(q^2+4p^3/27)^0.5)/2)^(1/3)=-0.75 根据尧驰公式2得: x1(min)=2(-p/3)^0.5sin[(arcsin((27/(-p)^3)^0.5*q/2))/3+4π/3] =-0.75 x2(mid)=2(-p/3)^0.5sin[(arcsin((27/(-p)^3)^0.5*q/2))/3] =-2(-p/3)^0.5cos(arccos(((27/(-p)^3)^0.5*q/2))/

已知a1a2a3a4=2023，a1^2(a2a3+a3a4+a2a4)+a2^2(a1a3+a1a4+a3a4)+a3^2(a1a4+a2a4+a1a2)+a4^2(a1a2+a1a3+a2a3)=2022，a1^2(a2^2+a3^2+a4^2)+a2^2(a3^2+a4^2)+a3^2a4^2)=2021， a1^3(a2+a3+a4)+a2^3(a1+a3+a4)+a3^3(a1+a2+a4)+a4^3(a1+a2+a3)=2020， (a1+a2+a3+a4)^4=305^2 求a1^4+a2^4+a3^4+a4^4=？

一元九次方程 x^9-9/4x^7+27/16x^5-15/32x^3+9/256x+s=0，求x=？ 解:令x=cosa，有cosa^9-9/4cosa^7+27/16cosa^5-15/32cosa^3+9/256cosa+s=0，即cos9A/256+S=0，cos9a=-256S，a=arccos(-256S)/9， ∴x1=cos(arccos(-256s)/9)， x2=cos(arccos(-256s)/9+π/9)， x3=cos(arccos(-256s)/9+2π/9)， x4=cos(arccos(-256s)/9+3π/9)， x5=cos(arccos(-256s)/9+4π/9)， x6=cos(arccos(-256S)/9+5π/9)， x7=cos(arccos(-256s)/9+6π/9)， x8=cos(arccos(-256s)/9+7π/9)，x9=cos(arccos(-256s)/9+8π/9)。 若方程全为实数解，则s的取值范围为:-1/256≤s≤1/256。

求证：∑(N^n)被N(N+1)整除，其中N为自然数，n为奇数。N≥3，n≥3

求10^x-197y=1的最小解？ 解：令10^x=10m，→10m-197y=1，→1/(197/10-20+1/3)=-30，m0/y0=-59/-3， 10*-59-197*-3=1， →mn=-59+197t或138+197t，→10^x=10mn=10(197t-59)=10(197t+138) 建立方程(197t-59)|10^r=(197t+138)|10^r=0，且使r取最大值，→①有且只有t=a0T7符合，令a0=1~9，当a0=4时，r取最大值；→t=a1T47；令a1=1~9，当a1=4时，r取最大值(尾数0最多)；同理得：a2=4，a3=6，…，a96=5，r取最大值(尾数0最多)，且余数为1。即：(197*50761421319796954314720812182741116751269035532994923857868020304568527918781725888324873096447-

求证x^3+y^3=1145141919810无正整数解。 证： 由于1145141919810=2*3*3*5*7*101^2*178187 又有k^0.5=1070113.040669069，故令a=101^2=1071105>k^0.5 b=2*3^2*5*7*178187=112257810，△=(12*112257810-3*(10201)^2)^0.5=32170.05621692321≠z。 又由于a=101^2*3时，△<0，故无解可， 这叫两头堵算法。 发布于 1 分钟前・IP 属地新疆

例1，一群羊，二二数余一，三三数余二，五五数余三，七七数余五，求这群羊最少多少只？

x^2-y^2=97z，它只有55组解吗？

例3，x^2+y^2=k=100000037，→(100000037-1)/4=25000009；2^25000009|100000037=55387563，→(55387563^2+1)/100000037=30677810 有：30677810/2/5/37/82913=1，→5=2^2+1①；37=6^2+1②， 又：(82913-1)/4=20728，→2^20728l82913=31013^20*2^728|82913=-1，→31013^(20/2)*2^(728/2)/82913=81234→(81234^2+1)/82913=79589，→82913-8134=1679， →(1679^2+1)/82913=34，有34=5^2+3^2，→5x+3y=1679，x^2+y^2=82193，→x=247，y=148。有247^2+148^2=82913③。 那么根据合并原理得： 一，①∪②： 5*37=185=(2*6+1*1)^2+(6*1-2*1)^2=13^2+4^2④，或=(2*6-1*1)^2+(6*1+2*1)^2=11^2+8^2

N=32 求最后一项系数 1/33+1/2+32!/6/2!/31!-32!/30/4!/29!+32!/42/6!/27!-32!/30/8!/25!+5*32!/66/10!/23! -691*32!/2730/12!/21!+7*32!/6/14!/19!-3617*32!/510/16!/17!+43867*32!/798/18!/15! -174611*32!/330/20!/13!+854513*32!/138/22!/11!-236364091*32!/2730/24!/9! +8553103*32!/6/26!/7!-23749461029*32!/870/28!/5!+8615841276005*32!/30!/14322/3!+x=1，x=-7709321041217/510， Σn^32= n^33/33+n^32/2+8n^31/3-124n^29/3+7192n^27/9-70122n^25/5 +2337400n^23/11-57151228n^21/21+28947800n^19-4262956413n^17/17 +36281518360n^15/21-101092086116n^13/11+36315248840n^11-2124913178090n^9/21+184541750328n^7-294493316

此法虽笨，但比遍历有效，比阶乘法便宜多了

例3，x^3+y^3=4123，解：4123=7*19*31，k^(1/3)≈16，→a1=19，b1=217；a2=31，b2=7*19=133，△=12*133-3*31^2<0无解。 所以根据a1有：△=(12b-3a^2)^0.5=(12*217-3*19^2)^0.5=39=z，有解，→x=a/2+(12b-3a^2)^0.5/6=19/2+(12*217-3*19^2)^0.5/6=16，y=19/2-(12*217-3*19^2)^0.5/6=3。

尧驰余数法 例：1234567890987654321x-99887766655y=1，解：根据尧驰余数法有： 1/(1234567890987654321/9988776655-123595505+1/3+1/15+1/421+1/224560+1/93764504381+1/11283580758385448137312+1/11770823051847435773331104543480981039415587234-1/597577089887378307128555186726890315650711695185173357351554089368525522915224493747255671673+1/720050828492900672152461007563181693155366057493982481307909396148070557785099046916288765316642315350436442134459914106500357981028198135429761800183354497933057621913354466408961870497 =z， y0/x0=-(-123595505+1/3+1/15+1/421+1/224560+1/93764504381+

例2，39x^2+13＝y^2，判别式为:d1＝Q，mld1=0，方程有公式解。d1＝21，d2＝1，其原始最小解为:13/(39^0.5-7+1/2+1/3-…)=∞-，→y1/x1=7-1/2=13/2 x1=2，y1=13 Xn=1/2[(x1d1^0.5+y1d2^0.5)^n+(x1d1^0.5-y1d2^0.5)^n]/(d1)^0.5/m^(n/2-1/2)＝1/2[(2*39^0.5+13)^n+(2*39^0.5-13)^n]/39^0.5/13^(n/2-1/2)＝2/102/5098..。 yn＝13/637/34837...，n=1，3，5…。

例1，x^2+y^2=1885

求x^2027±1=12163y，在0~12164内的所有整数解及其通式？ 解：二式各有2027组解，用尧驰余数法求之得： 由12163=(2027*2)*3+1得： (27)^2027=56661221133114475347699636272361310868722746048 →(27^2027+1)/12163=(11304^2*27^27+1)/12163=4658490597148275536273915668203 675973750123。 →x20270=3^3=27， →x20271`=3^(3*2)|12163=729； x20272`=3^(2^2*3)|12163=4065； x20273`=4065^2|12163=6871， x20274`=6871^2|12163=8707， …， x20271000`=3^(2^1000*3)|12163， …， x20272025`=3^(3*2^2025)|12163。 x20272026`=3^(3*2^2026)|12163。 x20272027`=2028。 那么有：x202

时间是物质，物质的特怔是它具有可重复出现性，人为塑造性。好了，穿越过去可实现，但潜越未来不可以的，因为物质将来的位置和形态不可控。【图片】

x^3+1=ky，除去平凡解(x-1，0)，(-1，0)；求通解式xn及yn？

若k为质数且k=4n+1，必有((k-1)/2)！/k=a，(a^2+1)|k=0， 如k=109，→((109-1)/2)！/109=33，(33^2+1)|109=0，→109=P 又如k=341，→((341+1)/2)！|341=0，→341≠p

6096631509830818900813900253480871821是质数吗？如果是，那么，148675663066648041838559200428235030329712232044295885776313678159205003821也是质数。【图片】

若k≠P，有x=((P-1)/2)^((P-1)/4)|k，→(x^2+1)|k≠0，(注：a|b=c代表a除以b余数为c)； k=P，且P=4n+1，那么必有x=((P-1)/2)^((P-1)/4)|k，→(x^2+1)|k=0。 例1：k=999030553，→((999030553-1)/2)^((999030553-1)/2/2)|999030553=499515276^249757638|999030553=536176602，→(536176602^2+1)|999030553=788997445。 故：999030553≠P，=23*43436111。 例2，伪素数341，→((341-1)/2)^((341-1)/4)|341=170^85/341=309，→(309^2+1)|341=2 ≠0，故341≠P 例3，伪素数561，→((561-1)/2)^((561-1)/4)|561=170^85/341=67，→(67^2+1)|561=2≠0 故561≠P 例4，迈克尔克数1

x^3+1=999030601y，求y0，x0=？ 解：解：平凡解为：x=-1，y=0 通解为：xn1=520813648+999030601t，yn1=…，略 xn2=478216954+999030601t，yn2=…，略

例，2020^2021^(x^2+70x+1)^2022^2023^…^10000!|1999=21，求xn， 解：由于2020^1|1999=21，只要使得2021^(x^2+70x+1)^2022^2023^…^10000!|1998=1即可。 →x^2+70x+1=72n，→x1=1&-71，x2=13&-83，x3=25&95，x4=37&-107…。n=1，15，33， 55…。→xn=1+12t，an=1+14(n-1)+4(n-1)(n-2)/2=2n^2+8n-9。 令t=0，→x=1，x^2+70x+1=72，→2020^2021^72|1999=2020^(2021^72|1998)|1999=2020^1|1999=1，正确 证明：2021^72|1998=1，→2020^1|1999=21。正确

质数：2，613，( )，99989。问括号内是哪个质数？

不定方程：x^2+1=ky， 若k=P，且P|4=1，→x0=((k-1)/2)!|k，→y0=((k-1)/2)!^2+1)/k；…。 如：①k=193，(k-1)|2=96，→x0=96!|193=81，→y0=(81^2+1)/193=34；x1=193-81=112，y|=(112^2+1)/193=65；…。 ②k=97，→x0=48!/97=22，→y0=(22^2+1)|97=5，x1=97-22=75，y2=(75^2+1)/97=58…。 ③k=977，→x0=488!/977=725，→y0=(725^2+1)/977=538；x2=977-725=252， y2=(252^2+1)/977=65，…。

一般地，①以每个点为中心，以距离最短的方式连接外一点，得到的路径最短 ②以最短距离的两个点为中心，将剩余所有的点两两地，以两个最短距的点连接(比如：平面有a，b，c，d四点，在线段ab，ac，ad，bc，bd，cd中，ab最短，bc次之，cd再之，那么可以分成线段ab和线段cd)，平面形成线段的分布图，以线段所有的中心点的作为新的点的分布图。收此类推，直至最后一条线段为止，那么返推所有的点先后顺序，就是最短路径。 比如圆上有八个均分点，

不定方程x^2-y^2=K，有公式解。 X^2-y^2＝K，推导及验证 解: Xn＝((X1+y1)^n+(X1-y1)^n)/(2K^(n/2-1/2))， yn＝((X1+y1)^n-(X1-y1)^n)/(2K^(n/2-1/2) 如果K=P，则x，y仅有一计组解。如果K≠P，则xn，yn的解的组数与K的因数相同。

1/x-1/y=1/a， 若：a的质因数有n个，且两组相同，其解组数m为： ①n为偶数：m=3^(n/2)+3^(n/4)组。 ②n为奇数：m=3^(n/2+1/2)+3^(n/4+3/4)-3组 例：a=(2*3)^2=36，→m=1，2，3，4，6，8，9，12，16，18，24，27，12组。即：1/(36-m)-1/36=1/(36(36-m))：1/35-1/36=1/1260，1/34-1/36=1/612，1/33-1/36=1/396，1/32-1/36=1/288，1/30-1/36=1/180，1/28-1/36=1/126，1/27-1/36=1/108，1/24-1/36=1/72，1/20-1/36=1/45，1/18-1/36=1/36，1/12-1/36=1/18，1/9-1/36=1/12， 例：a=(2*3)^2*5=36，→33组，略[

1/(13+1/(13+1/(13+1/(13+1/(13+1/(13+1/(13+1/(13+1/(13+.....)))))))))=a/b，13的个数有50个 求a，b值

例15x^2+3x=7y-4，解：①求d1：用迭代法有：(15*(7+4+4+1)^2+3*(7+4+4+1)+4)/7=556 d11=(7+4+4+1)|7=16|7=2，d12=7-2=5（舍去) ②求z0：z01=(15*(2)^2+3*(2)+4)/7=10，z02=(15*(5)^2+3*(5)+4)|7≠0舍去， ③通解为：xn=±(d1±dt)=±(2±7t)，yn=adt^2±2ad1t±bt+z0=105t^2±210t±3t+10， 验：令t=11，→xn=±79，yn=105t^2+60t+3t+10=13408， 代入得：左=15x^2+3x=93852，右=7*13408-4=93852，正确

二元二次不定方程解法 例：x^2=13y-1，解：先求d1或x0值，由于13=P，由迭代公式得： (13+2+5-11-4)^2+1)/13=2，13+2+5-11-4=5。 (13-2+5-10+11+4)^2+1)/13=34，→d1=21|13=8 当d1=±5或±8有解，又使得(x0^2+1)/(13)=z0，→z0=2&5，x0=d1±dt0=5±13t0，或 x0=d1±dt0=8±13t0，→ xn1=d1±dt1=5±13t1，yn1=dt1^2±2d1t1+z=13t1^2±10t1+2 xn2=8±13t2， yn2=13t2^2±16t2+5 其全解为：xn=xn1+xn2： xn1=5+13t， xn2=8+13t， yn=yn1+yn2： yn1=13t^2+10t+2 yn2=13t^2+16t+5 t=0，1，…